Тема 16
ЛОГАРИФМЫ. РАСЧЕТ ЛОГАРИФМОВ
Студент должен уметь вычислять с помощью таблиц логарифмы и антилогарифмы.
Если мы имеем ряд цифр, различающихся между собой в одинаковое число раз, то их логарифмы будут отличаться друг от друга на постоянную величину. Например 1, 10 и 100, которые различаются в 10 раз, тогда их логарифмы по основанию 10 (lg), будут равны соответственно 0, 1 и 2, т.е. они различаются на единицу.
Логарифм 1 всегда равен 0, однако логарифмы могут различаться по величине основания. В случае логарифмов с основанием 10 (log 10) или (lg) логарифмы двух чисел, отношение которых равно 10, будут различаться на 1.
В случае же так называемых натуральных логарифмов (logе или ln), для того чтобы логарифмы двух чисел различались на 1, необходимо, чтобы сами числа различались в 2,718 раза.
Обычно чаще пользуются лишь десятичными логарифмами. На калькуляторе с клавишей для вычисления логарифмов нажимают на клавишу log или ln. Для обратного перехода от логарифмов к обычным числам набирают 10 и нажимают клавишу yх (для log 10) или набирают ех для (logе).
Одно из наиболее важных свойств логарифмов состоит в том, что с их помощью можно сравнить и откладывать на одном и том же графике величины, значительно отличающиеся друг от друга. На графике попробуем представить зависимость сигнала растворов нескольких концентраций вещества, отличающихся на несколько порядков. Большинство точек оказывается расположенным в левой стороне графика. Использование логарифмического масштаба приводит к более равномерному распределению точек на графике, выравниванию графика. При записи концентраций химических соединений, которые могут варьировать в широких пределах, используют логарифмы чисел.
Кислотность водных растворов выражается величиной рН, определяется по формуле рН = -lg[Н+], где [Н+] - концентрация водородных ионов, моль/л. Раствор, содержащий 10-5 моль водородных ионов в 1 л, будет иметь рН 5,0.
Совокупность логарифмов, вычисленных для ряда последовательных целых чисел по одному и тому же основанию, называется системой логарифмов.
Правила вычислений с помощью таблиц четырехзначных логарифмов и антилогарифмов
1. Логарифмом (десятичным) называется показатель степени, в которую нужно возвести основание системы логарифмов (т.е. число 10), чтобы получить данное число. Например, lg 100 = 2, так как 102 = 100, lg 2 = 0,3010, так как 100,3010 = 2 и т.д.
2. Логарифм единицы равен нулю; логарифм основания (10) равен единице. Действительно:
100 = 1; 101 = 10.
3. Логарифмы чисел, больших единицы, положительны; логарифмы чисел, меньших единицы, отрицательны. Так, lg 100 = 2; lg 0,01 = -2, так как 10-2 = 0,01.
4. Логарифмы чисел, состоящих из единицы с нулями (например, 10, 100, 1000 и т.д.) равны числу нулей, т.е. (1, 2, 3 и т.д.).
5. Логарифмы десятичных дробей, состоящих из единицы с предшествующими ей нулями, равны числу этих нулей вместе с нулем до запятой, взятому со знаком минус.
Например: lg 0,0001 = - 4, так как 10-4 = 0,0001.
6. Логарифмы остальных чисел состоят из целого числа (характеристики) и дробной части (мантиссы). Так, lg 857 = 2,9330; здесь 2 - характеристика, а 0,9330 - мантисса логарифма.
7. Характеристика чисел, больших единицы, равна числу цифр до запятой, уменьшенному на единицу. Так, характеристика логарифма числа 3547,8 равна 4 - 1 = 3. Действительно, это число больше 1000 и меньше 10000. Значит, логарифм его больше трех, но меньше четырех, т.е. представляет собой 3 с какой-то дробью.
8. Характеристика десятичной дроби равна общему числу нулей до первой значащей цифры, взятому со знаком минус. Наоборот, мантисса десятичной дроби положительна.
Например: lg 0,007041 =-3,8477 (прил. 1).
Знак минус над цифрой 3 относится только к характеристике, но не к мантиссе 0,8477, которая положительна.
Следовательно,-3,8477= -3 + 0,8477= -2,1523.
9. Нахождение логарифмов чисел. Требуется найти логарифм числа 13,889. Так как это число содержит 5 значащих цифр, а четырехзначные таблицы логарифмов дают точность только до четвертой цифры, прежде всего округляем это число до 13,89. Теперь пишем характеристику логарифма. Согласно правилу, приведенному в п.7, она равна 1. Далее, не обращая внимания на запятую, находим мантиссу логарифма числа 1389. Для этого отыскиваем в таблице логарифмов точку пересечения горизонтального ряда, отвечающего первым двум цифрам этого числа (13) и вертикального ряда, отвечающего третьей цифре (8). На этом пересечении стоит число 1399. Четвертую цифру числа 1389 учитываем с помощью правой части таблицы с надписью «пропорциональные части». Для этого в точке пересечения того же горизонтального ряда (13) с вертикальным рядом, отвечающим четвертой цифре числа (9), находим поправку, равную 29.
Прибавив ее в качестве 3-го и 4-го знаков к найденной ранее величине 1399, получим мантиссу логарифма данного числа. Таким образом, lg 13,89 = 1,1428.
Примеры.
а) lg 0,0001389 =-4,1428 = - 3,857; в) lg 794,1547 = lg 794,2 = 2,8999;
б) lg 1389247 = lg 1389000 = 6,1428; г) lg 0,01030 =-2,0128 = -1,987.
10. Нахождение числа по его логарифму. Для этой цели служат таблицы антилогарифмов. Нахождение по ним числа, отвечающего данному логарифму, совершенно аналогично нахождению логарифмов по таблице логарифмов.
Положим, например, что lg Х =-2,9375. Чтобы найти Х, не обращая внимания на характеристику, находим число, отвечающее данной мантиссе (0,9375). На пересечении рядов, отвечающих первым двум цифрам ее (93) и третьей цифре (7) помещено число 8650. Поправка на четвертую цифру (5) равна 10. Следовательно, найденная по таблице величина составляет 8660. Чтобы получить искомую величину Х, нужно, исходя из величины характеристики - 2, поставить запятую. Поскольку эта характеристика отрицательна, Х должно быть меньше нуля. Согласно правилу (п.8), перед первой значащей цифрой данного числа должно стоять два нуля. Таким образом, получаем: Х=0,0866.
Примеры:
а) lg x = 0,1759; x = 1,499; в) lg x = 4,0820; x = 0,0001208;
б) lg х = 3,4528; х = 2836; г) lg х = 5,7000; х = 501200.
Правила вычислений с логарифмами могут быть представлены при помощи следующих формул:
а) lg a·b = lg a + lg b; в) lg ab = b·lg a;
П р и м е р.
Согласно формулам (а) и (б):
lg x = lg 0,3145 + lg 2 + lg 24,32 - lg 222,6
Отсюда по таблицам логарифмов находим:
lg 0,3145 =-1,4976
lg 2 = 0,3010
lg 24,32 = 1,3860
сумма 1,1840
lg 222,6 = 2,3476
разность 2,8364
Следовательно lg х =-2,8364 и х = 0,06861
Замена вычитания логарифмов сложением. В тех случаях, когда приходится вычитать логарифмы чисел, стоящих в знаменателе, удобнее заменить это вычитание прибавлением соответствующих им отрицательных величин. Так, вместо того, чтобы вычитать из 1,8440 величину 2,3476 (см. предыдущий пример), можно прибавить величину -2,3476. Но для того, чтобы осуществить подобное сложение, необходимо придать этой величине такой вид, чтобы отрицательной была только характеристика, но не мантисса. Для этого нужно к мантиссе прибавить единицу, а из характеристики единицу вычесть.
При этом получим (-2 - 1) + (1 - 0,3476)= --3,6524 кг.
Действительно, если к 1,1840 прибавить величину -3,6524, получим-2,8364, т.е. ту же величину, что и при вычитании 2,3476.
Из примера следует правило подобных преобразований: к характеристике логарифма прибавляем единицу, после чего меняем знак ее на обратный; первые три цифры мантиссы вычитаем из 9, а четвертую – из 10.
Пример. Вычислить выражение:
lg x = lg 17,65 + lg 0,04519 - lg 0,006524 - lg 127,8
lg 17,65 = 1,2467
lg 0,04519 =-2,6551
- lg 0,006524 = - 3,8145 = 2,1855
- lg 127,8 = - 2,1066 = 3,8934
Cумма-1,9807
Следовательно: lg x = -1,9807 и х = 0,9566
Преобразование отрицательного логарифма. Отрицательные логарифмы преобразовывают таким образом, что мантисса становится положительной, а характеристика остается отрицательной. Для этого к мантиссе прибавляют положительную единицу, а к характеристике - отрицательную.
В четырехзначных таблицах содержатся мантиссы логарифмов всех целых чисел от 1 до 9999 включительно, вычисленные с четырьмя десятичными знаками. На величину мантиссы не влияет положение запятой в десятичном числе, а также число нулей, стоящих в конце числа. Таким образом, при нахождении мантиссы по данному числу в этом числе отбрасывается запятая, а также нули на конце его, и находится мантисса логарифма, образовавшегося после этого целого числа. При этом могут быть следующие случаи:
1. Целое число состоит из трех цифр.
Например, надо найти мантиссу логарифма числа 724. Первые две цифры этого числа, т.е. 72, находим в таблицах в первом слева вертикальном столбце, затем продвигаемся от него по горизонтальной строке вправо до пересечения ее с вертикальной стороной (столбцом), над которым стоит третья цифра взятого числа (в нашем примере цифра 4 ). В пересечении получим мантиссу 3597 (т.е. 0,8597). Характеристика числа, состоящего из 3 цифр, равна 2.
Таким образом, 724 = 2,8597.
Подобно этому, 531 = 2,7251 и т.п.
2. Целое число состоит из двух или одной цифры.
В этом случае мысленно приписываем к этому числу соответственно два или один нуль и находим мантиссу для логарифма, образовавшегося таким образом из трехзначного числа. Например, к числу 31 приписываем один нуль и получаем число 310. Мантисса этого числа 4914, к числу 3 приписываем два нуля и находим мантиссу 4771 и т.п.
3. Целое число выражается четырьмя цифрами.
Например, надо найти мантиссу 7145. Сначала находим в таблицах мантиссу для логарифма числа, изображенного первыми тремя цифрами данного числа, т.е. для 714 (эта мантисса будет 0,3537). Затем продвигаемся от найденной мантиссы по горизонтальной строке направо в часть таблицы, расположенную за жирной вертикальной чертой) до пересечения с вертикальной стороной (столбцом), наверху и внизу которого стоит цифра, представляющая собой четвертую цифру данного числа, т.е. в нашем примере цифру 5. В пересечении находим поправку (число 3), которую надо приложить к мантиссе 0,8537. Таким образом, получается мантисса логарифмов данного числа 7145 - 0,8540.
Для нахождения числа по данному логарифму служат таблицы, в которых помещены антилогарифмы, т.е. числа, соответствующие данным мантиссам. При нахождении числа по данной мантиссе надо пользоваться таблицами антилогарифмов совершенно так же, как и при нахождении мантисс по данному числу в таблицах логарифмов. Например, дана мантисса 4733. По таблице находим число 2974. После этого, учитывая характеристику, надо в числе 2974 поставить запятую на надлежащем месте. Примеры:
Если lg Х = 3,4733, то Х = 2974.
Если lg Х = 2,0371, то Х = 108,9.
Если lg Х = 1,8907, то Х = 77,75.
Если lg Х = 0,2369, то Х = 1,72б.