14.2.3. Дисперсионный анализ
Он позволяет получить объективные критерии для оценки существенности различий между вариантами и достоверности всего эксперимента. Кроме того, метод позволяет вычислить влияние неорганизованных (случайных) факторов и вызванное организованными факторами, а также определить долю каждого изучаемого фактора (организованного) и их совокупное влияние в многофакторном опыте.
1. Составляют подготовительную табл. 21. по содержанию хлорофилла в растениях по вариантам и повторностям и вычисляют среднее по вариантам.
Таблица 21
Содержание хлорофилла в растениях по вариантам и повторностям.
|
Вариант |
Количество хлорофилла по повторениям, мг/дм² |
Сумма по вариантам ∑V |
Средняя -Xv |
||
|
I |
II |
III |
|||
|
Ι - полная доза NH4NO3 |
4,1 |
4,0 |
3,9 |
12 |
4,0 |
|
ΙΙ - половина дозы NH4NO3 |
3,8 |
3,5 |
3,8 |
11,1 |
3,7 |
|
ΙΙΙ - контроль (без удобрений) |
3,7 |
3,6 |
3,2 |
10,5 |
3,5 |
|
∑ Р |
11,6 |
11,1 |
10,9 |
∑ X = 33,6 |
-X0 = 3,73 |
Общее количество наблюдений (повторностей) определяют как произведение числа вариантов на число повторностей: n · l = 3 · 3 = 9.
Среднее количество хлорофилла по опыту равно: -Хо = ΣХ : N = 3,73.
2. Для вычисления различных видов варьирования и определения категорий достоверности всех вариационно-статистических показателей необходимо составить вспомогательную таблицу квадратов. Для этого все значения табл. 21 возводят в квадрат и заносят в табл. 22.
Таблица 22
Квадраты чисел
|
Вариант (фактор) |
Хлорофилл по повторностям |
Квадрат Σ по вариантам (ΣV)2 |
||
|
I |
II |
III |
||
|
I - полная доза NH4NO3 |
16,81 |
16,0 |
15,2 |
144 |
|
II - половина дозы NH4NO3 |
14,4 |
12,25 |
14,4 |
123,21 |
|
III - контроль (без удобрений) |
13,69 |
12,96 |
10,24 |
110,25 |
|
(ΣР)2 |
134,56 |
123,21 |
118,81 |
|
3. Вычисляют сумму квадратов по повторениям:
ΣХ2 = 16,81 + 14,4 + 13,69 + 16,0 +…….10,24 = 125,95.
Находят сумму квадратов по вариантам:
ΣV2 = 144 + 123,21 + 110,25 = 377,46.
Определяют сумму квадратов по повторениям:
ΣР2 = 134,56 + 123,21 + 118,81 = 376,58.
Число наблюдений: N = ℓn = 9,
где ℓ - число вариантов, n - число повторений.
4. Определив суммы квадратов, рассчитывают следующие показатели:
корректирующий фактор
С = ( ΣХ)2 : N = (33,6)2 : 9 = 125,44;
общее варьирование
Сγ = ΣХ2 - С = 125,95 - 125,44 = 0,51;
варьирование по вариантам
Cv = ΣV2 : n - С = 377,46 : 3 - 125,44 = 0,38;
варьирование по повторениям
Ср = ΣР2 : l - С = 376,58 : 3 - 125,44 = 0,086;
остаточное варьирование (варьирование случайной ошибки)
Сz = Сγ - Cv - Ср = 0,51 - 0,38 - 0,086 = 0,044.
5. Для выяснения существенности различий между вариантами опыта полученные результаты сводят в табл. 23. и оценивают существенность различий по критерию Фишера (F).
Таблица 23
Результаты дисперсионного анализа
|
Вид варьирования |
Сумма квадратов |
Число степеней свободы |
Дисперсии |
Отношение дисперсий Fф |
Критерий Фишера теоретический F0,5 |
|
Общая, Сγ |
0,510 |
9 |
- |
17,27 |
6,9 |
|
Повторений, Ср |
0,086 |
2 |
- |
||
|
Вариантов, Сv |
0,380 |
2 |
0,190 |
||
|
Остаток, Сz |
0,044 |
4 |
0,011 |
Число степеней свободы для общего варьирования определяют как (N - 1), для повторений - (n - 1), для вариантов (ℓ - 1), а для остаточного варьирования - (n - 1)· (ℓ - 1).
Дисперсию для различных видов варьирования находят делением суммы квадратов на соответствующее число степеней свободы:
S2v = 0,38 : 2 = 0,19,
S2z = 0,044 : 4 = 0,011.
Фактическое значение критерия Фишера рассчитывают делением большей дисперсии на меньшую:Fфакт. = 0,19 : 0,011 = 17,27.
Теоретическое значение критерия Фишера для 5%-го уровня значимости и соответствующего числа степеней свободы находят по таблице Фишера, F0,5 = 6,9 (по Б.А. Доспехову).
6. На основании сравнения Fфакт. и F0,5 делают вывод о разнице между вариантами. Если Fфакт. > F0,5 табл., то варианты отличаются от остальных. При сравнивании двух методов анализа, в случае равных или Fфакт. < F0,5 табл., параметры показателя будут близки друг другу.
7. Достоверность различий между всеми вариантами определяют по НСР или по утроенной ошибке средней арифметической 3 Sxсред.
Для расчета НСР необходимо определить ошибку разности средних:
Наименьшую существенную разность определяют по формуле
НСР0,5 = t0.5Sd = 2,78 · 0,085 = 0,23.
Значения критерия Стьюдента берут из таблицы, для числа степеней свободы остаточной дисперсии равное 2,78.
8. Для анализа изменчивости считают коэффициент вариации, выражаемый в процентах:
Cv = σ 100 /-х.
9. Пример расчета по укороченной программе Снедекора.
1) Дисперсионный анализ экспериментальных данных. Разложения дисперсии ANOVA. Полная рендомизация
|
Дисперсия |
Сумма квадратов |
Доля вариации |
Степени свободы |
Средний квадрат |
F-критерий |
|
Общая Фактор Сл.факторы |
0,600 0,380 0,220 |
1,0000 0,6333 0,3667 |
8 2 6 |
0,075 0,190 0,037 |
5,182 |
2) Анализ различия факторных средних.
|
Вариант |
Повторности |
Средние |
Разница Значима? |
||
|
1 |
2 |
3 |
|||
|
1 2 3 |
4,100 3,800 3,700 |
4,000 3,500 3,600 |
3,900 3,800 3,200 |
4,000 3,700 3,500 |
Контроль -0,300 Нет -0,500 Да |
|
Средние |
3,867 |
3,700 |
3,633 |
3,7333 |
-0,267 Нет |
Полная рендомизация: Анализ средних по НСР(5%)
F-критерий = 5,1818, ст.св. = 2,6; Q = 0,0493
Степень влияния по Снедекору = 0,5823
Станд. ошибка = 0,1106 (2,96% от общего среднего)
HCP (1%) = 0,5796; HCP(5%) = 0,3826; HCP (10%) = 0,3038.
Рендомизация в блоках:
F-критерий = 5,7000, ст.св. = 2,4; Q = 0,0675
Степень влияния по Снедекору = 0,6104
Станд. ошибка = 0,1054 (2,82% от общего среднего)
HCP(1%) = 0,6863; HCP(5%) = 0,4139; HCP(10%) = 0,3178.