ФИЗИКА

Задача 3.16. Длинный цилиндрический конденсатор заряжается от источника э.д.с. Доказать, что ток смещения в диэлектрике, заполняющем пространство между обкладками конденсатора, равен току в цепи источника э.д.с. Искажениями поля у концов конденсатора пренебречь.

Для определённости предположим, что внутренняя обкладка конденсатора заряжается положительно. Проведём в диэлектрике цилиндрическое сечение радиуса r. Обозначим его площадь через S. Ток смещения Iсмещ. сквозь это сечение диэлектрика по формуле (3.8.11) равен:

(3.16.1)

,

где - проекция вектора электрического смещения поля конденсатора на направление внешней нормали к элементу сечения dS.

Вектор направлен по радиусу цилиндра от его оси к элементу dS. Точно так же направлен и вектор в точках площади dS. Поэтому .

,

где τ - линейная плотность зарядов на внутренней обкладке конденсатора.

Если заряд этой обкладки равен q, а её высота , то

и

(3.16.2)

Величина r для рассматриваемого сечения постоянна, поэтому

(3.16.3)

Заряд q конденсатора зависит только от времени, так что нет никакой разницы между частной и полной производными от q по t . Тогда

(3.16.4)

Подставив (3.16.4) в (3.16.1), получим:

Так как   от переменной интегрирования S не зависит, то

Площадь S рассматриваемого сечения диэлектрика равна , а скорость изменения заряда конденсатора есть не что иное как сила зарядного тока I, т.е. тока в цепи, соединяющей конденсатор с источником э.д.с. Таким образом

к к к