ФИЗИКА

Задача 3.4. Тонкий стержень длиной (рис. 3.4.4) несёт равномерно распределённый по длине заряд с линейной плотностью . На расстоянии от стержня находится заряд . Заряд равноудалён от концов стержня. Определить силу взаимодействия точечного заряда с заряженным стержнем.

Рис. 3.4.4

Для решения задачи применим принцип суперпозиции. Разделим стержень на столь малые элементы , чтобы заряд можно было рассматривать как точечный. Тогда сила взаимодействия между зарядами и dQ может быть определена по закону Кулона:

(3.4.1)

,

где r – расстояние от выделенного элемента до заряда .

Из рис. 3.4.4 следует, что и .

Подставив эти выражения в (3.4.1), получим:

(3.4.2)

.

Разложим далее на нормальную и тангенциальную составляющие. Из рис. 3.4.4 видно, что

Очевидно, что для нахождения силы необходимо проинтегрировать последние выражения. Поскольку положение выделенного заряда на стержне определяется углом α, этот угол и следует взять в качестве переменной интегрирования. Из  рис. 3.4.4 видно, что α  меняется в пределах от -β до +β. С учётом этого получим:

(3.4.3)

.

В силу симметрии расположения заряда относительно стержня интегрирование второго выражения даёт нуль:

.

Таким образом, сила, действующая на заряд , будет

(3.4.4)

.

Из рис. 3.4.4 видно, что

.

Подставив (3.4.5) в (3.4.4), получим:

.

к к к