ФИЗИКА

1.4.7. Геометрическая интерпретация преобразований Лоренца

Рассмотрим релятивистские представления о пространстве-времени с помощью геометрического метода, развитого Минковским.

Диаграммы Минковского. Пусть имеются две инерциальные системы отсчёта: K-система и K'-система, движущаяся относительно первой со скоростью V. Сначала построим так называемую диаграмму пространства-времени для K-системы, ограничиваясь для большей простоты и наглядности одномерным случаем (рис. 1.21.1). На оси ординат данной диаграммы откладывают обычно не само время t, а величину τ = ct, где с – скорость света. Это даёт возможность проградуировать обе оси (Ox и Oτ) в метрах, причём в одном и том же масштабе.

Каждая точка диаграммы – её называют мировой точкой – характеризует некоторое событие A(x, τ). Всякой частице (даже неподвижной) на этой диаграмме соответствует мировая линия. Например, ось Oτ - это мировая линия частицы, покоящейся в точке x = 0. Ось Ox изображает совокупность всех событий, одновременных с событием О, независимо от координаты х.

Мировая линия, соответствующая распространению света из точки О в положительном направлении оси Ox, представляет собой биссектрису ОС прямого угла.

Изобразим на этой диаграмме оси O'τ и O'x K'-системы. Мировую линию начала отсчёта K'-системы получим, положив в преобразованиях Лоренца (1.18.4) x' = 0. Тогда x = Vt = βτ, где β = V/c. Это есть уравнение прямой, которая составляет с осью Oτ угол ϑ, определяемый формулой tg ϑ = β. Полученная прямая – мировая линия – представляет собой совокупность всех событий, происходящих в начале отсчёта K'-системы, т.е. ось O'τ.

Ось Ox' K'-системы – это прямая, изображающая все события, одновременные в K'-системе с событием О. Положив в преобразованиях Лоренца (1.18.4) t' = 0, получим ct = xV/c, или τ = βx. Отсюда следует, что ось Ox' составляет с осью Ox тот же угол ϑ (tg ϑ = β).

Таким образом, оси Oτ' и Ox' K'-системы расположены симметрично по отношению к мировой линии света ОС и координатная сетка K'-системы (τ', x') оказывается косоугольной. Чем больше скорость V системы K', тем более «сплющенной» будет её координатная сетка.

Построенная диаграмма соответствует переходу от K- к K'-системе. В согласии с принципом относительности для обратного перехода от K'- к K-системе диаграмма будет иметь совершенно симметричный вид: у K'-системы координатная сетка будет прямоугольной, а у K-системы – косоугольной.

Диаграмма Минковского позволяет наглядно интерпретировать такие релятивистские эффекты, как относительность понятия одновремённости, замедление времени и лоренцово сокращение.

Например, относительность понятия одновремённости следует непосредственно из рис. 1.21.1. Действительно, события А и В, одновременные в K-системе, в K'-системе оказываются неодновременными. Событие А произойдёт позже события В на время Δτ'.

к к к