ФИЗИКА

3.4.3. Закон Ома

Ом экспериментально установил закон, согласно которому сила тока, текущего по однородному (в смысле отсутствия сторонних сил) металлическому проводнику, пропорциональна падению напряжения на проводнике:

(3.4.15)

где R – электрическое сопротивление проводника.

Единицей сопротивления служит ом (Ом), равный сопротивлению такого проводника, в котором при напряжении в 1 В течёт ток силы 1 А.

Электрическое сопротивление зависит от формы и размеров проводника, а также от свойств материала, из которого он сделан. Для однородного цилиндрического проводника:

(3.4.16)

где ℓ – длина проводника;

S – площадь его поперечного сечения;

ρ – зависящий от материала коэффициент, называемый удельным электрическим сопротивлением вещества.

Если ℓ = 1 м и S = 1, то R численно равно ρ. Измеряется ρ в ом-метрах (Ом ⋅м).

Найдём связь между векторами и в одной и той же точке проводника. В изотропном проводнике упорядоченное движение носителей тока происходит в направлении вектора . Поэтому направления векторов и совпадают. Выделим мысленно в окрестности некоторой точки элементарный цилиндрический объём с образующими, параллельными векторами и (рис. 3.4.2).

Через поперечное сечение цилиндра течёт ток силой jdS. Напряжение, приложенное к цилиндру, равно , где Е – напряжённость поля в данном месте. Сопротивление цилиндра равно . Подставив эти значения в формулу (3.4.15), получим:

или

,

или в векторной форме:

(3.4.17)

Эта формула выражает закон Ома в дифференциальной форме.

Выражение называется удельной электрической проводимостью. Единица, обратная ому, называется сименсом (См). Соответственно единицей ρ является сименс на метр (См / м).

Допустим для простоты, что в проводнике имеются носители лишь одного знака. Тогда согласно (3.4.5) плотность тока равна:

(3.4.18)

Сравнение этого выражения с формулой (3.4.18) приводит к выводу, что скорость упорядоченного движения носителей тока пропорциональна напряжённости поля , т.е. силе, сообщающей носителям упорядоченное движение. Пропорциональность скорости приложенной к телу силе наблюдается в тех случаях, когда кроме силы, вызывающей движение, на тело действует сила сопротивления среды. Эта сила вызывается взаимодействием носителей тока с частицами, из которых построено вещество проводника. Наличие силы сопротивления упорядоченному движению носителей тока обусловливает электрическое сопротивление проводника.

Величина ρ или σ определяется химической природой вещества и условиями, в частности температурой, при которых оно находится.

Для большинства металлов при температурах, близких к комнатной, ρ изменяется пропорционально абсолютной температуре:

(3.4.19)

При низких температурах наблюдаются отступления от этой закономерности (рис. 3.4.3).

В большинстве случаев зависимость ρ от Т следует кривой 1. Величина остаточного сопротивления в сильной степени зависит от частоты материала и наличия остаточных механических напряжений в образце. Поэтому после отжига заметно уменьшается. У абсолютно чистого металла с идеальной кристаллической решёткой при абсолютном нуле .

У большой группы металлов и сплавов, а также керамических материалов при достаточно низкой температуре сопротивление скачком обращается в нуль (кривая 2). Впервые это явление, названное сверхпроводимостью, было обнаружено в 1911 г. Камерлинг-Оннесом.

Для каждого сверхпроводника имеется своя критическая температура TK, при которой он переходит в сверхпроводящее состояние. У металлов и сплавов эта температура составляет несколько кельвин, у керамических материалов – несколько десятков кельвин.

Сопоставление формул (3.4.6) и (4.17) приводит к выводу, что скорость упорядоченного движения носителей тока пропорциональна напряжённости поля:

(3.4.20)

Величины и называются подвижностью соответствующего носителя тока. Подвижность численно равна скорости упорядоченного движения носителя тока при напряжённости поля, равной единице.

Подстановка соотношений (3.4.20) в формулу (3.4.6) даёт

(3.4.21)

откуда

(3.4.22)

На неоднородном участке цепи средняя скорость упорядоченного движения носителей тока пропорциональна сумме напряжённости электростатического поля и напряжённости поля сторонних сил. Соответственно плотность тока:

(3.4.23)

Эта формула обобщает формулу (3.4.17) на случай неоднородного проводника.

Рассмотрим цилиндрический проводник с площадью поперечного сечения S и длиной ℓ. Допустим, что напряжённости и во всех точках проводника одни и те же. Умножим обе части равенства (3.4.23) на перемещение вдоль оси проводника и проинтегрируем получившееся соотношение по длине проводника от 0 до ℓ . В результате получим:

(3.4.24)

Интеграл, стоящий слева, равен . Интегралы справа равны соответственно разности потенциалов между концами проводника и э.д.с. ε12, действующей в проводнике. Учтя это и заменив и , можно написать (3.4.24) в виде:

или с учётом (3.4.16):

(3.4.25)

Формула (3.4.25) выражает закон Ома для неоднородного участка цепи. В ней сила тока и э.д.с. – величины алгебраические. Сила тока положительна, когда ток течёт в направлении от конца проводника 1 к концу 2. Э.д.с. считается положительной, если она способствует движению положительных носителей в направлении 1-2.

Для замкнутой цепи . Тогда

(3.4.26)

где ε – э.д.с., действующая в цепи;

R – суммарное сопротивление всей цепи.

к к к