ФИЗИКА

3.2.4. Условия на границе раздела двух диэлектриков

Найдём условия, которым должны удовлетворять векторы и на границе раздела двух однородных изотропных диэлектриков. Будем считать границу раздела плоской. Величины, характеризующие поле в первой среде, будем отмечать индексом 1, во второй среде – индексом 2.

Поскольку среды изотропны, из соображений симметрии следует, что векторы и лежат в одной плоскости. То же самое справедливо и для вектора .

Линии вектора могут начинаться или оканчиваться только на сторонних зарядах. Поэтому, если на границе раздела таких зарядов нет, линии проходят через границу, не прерываясь (рис. 3.2.4).

Поток вектора через элементарную площадку равен (– проекция на нормаль к площадке). Этот поток численно равен количеству линий , пересекающих площадку . Из рис. 3.2.4 видно, что потоки векторов и через одинаковы. Следовательно,

(3.2.20)

Это означает, что нормальная составляющая вектора в обоих диэлектриках одна и та же.

Перейдя (3.2.14) от к , получим:

откуда

(3.2.21)

Теперь воспользуемся тем, что циркуляция вектора напряжённости электростатического поля по любому замкнутому контуру равна нулю. Пусть в средах с проницаемостями и создано однородное поле, напряжённость которого в первом диэлектрике равна , а во втором . Возьмём в плоскости, в которой лежат векторы и , небольшой прямоугольный контур (рис. 2.5) и вычислим для него циркуляцию вектора .

Ширину контура b возьмём настолько малой, чтобы вкладом в циркуляцию сторон, перпендикулярных к границе раздела, можно было пренебречь. Тогда получим выражение

где – модуль тангенциальной составляющей вектора (т.е. составляющей, параллельной поверхности раздела).

Циркуляция должна быть равна нулю, поэтому

(3.2.22)

Перейдя от к (3.2.14), получим:

откуда

(3.2.23)

Соотношения (3.2.20), (3.2.21), (3.2.22) и (3.2.23) определяют условия, которым удовлетворяют векторы и на границе раздела двух диэлектриков.

Из схемы, изображённой на рис. 3.2.4 слева вверху, следует, что . Поэтому

(3.2.24)

Соотношение (3.2.13) выражает закон преломления линий электрического смещения. Это соотношение справедливо также и для линий напряжённости поля.

к к к