ФИЗИКА
Напомним, напряжённость поля точечного заряда определяется выражением
(3.1.29)
Легко сообразить, что линии поля в этом случае представляют собой центрально-симметричную систему радиальных прямых, направленных от заряда, если он положителен, и к заряду, если он отрицателен.
Рассмотрим воображаемую сферическую поверхность радиуса r, в центре которой помещается положительный точечный заряд q (рис. 3.1.14). В соответствии с формулой (3.1.29) в каждой точке этой поверхности 
.
Рис. 3.1.14 |
Следовательно, поток вектора 
через поверхность равен:
(3.1.30)
Выражение (3.1.30) не зависит от радиуса поверхности r. Значит, число линий на любом расстоянии от заряда одно и то же. Следовательно, линии нигде, кроме заряда, не начинаются и не оканчиваются.
Выражение (3.1.30) даёт число пересечений поверхности линиями поля, т.е. число линий, начинающихся на положительном заряде q:
(3.1.31)
Для отрицательного точечного заряда 
картина, изображённая на рис. 3.1.14, отличается лишь направлением линий поля. Число линий, оканчивающихся на отрицательном заряде q равно:
(3.1.32)
Полученные нами результаты означают, что источниками электростатического поля могут служить заряды, причём мощность этих источников равна 
.
Предположим, что внутри замкнутой поверхности произвольной формы находятся 
положительных точечных зарядов 
и 
отрицательных точечных зарядов 
. В соответствии с формулой (3.1.31) на положительных зарядах будет начинаться число линий 
. В соответствии с формулой (3.1.32) на отрицательных зарядах будет оканчиваться число линий 
. Подставив полученные числа в формулу (3.1.24), найдём поток вектора 
через поверхность S:
Здесь сумма 
есть алгебраическая сумма всех находящихся внутри поверхности S зарядов (число слагаемых в этой сумме равно 
).
Итак, мы доказали, что
(3.1.33)
Доказанное нами утверждение носит название теоремы Гаусса. Она гласит: «Поток вектора напряжённости электрического поля через замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключённых внутри этой поверхности зарядов, делённой на ε0».
При рассмотрении полей, создаваемых макроскопическими зарядами (т.е. зарядами, состоящими из огромного числа точечных элементарных зарядов), отвлекаются от дискретной (прерывистой) структуры этих зарядов и считают их распределёнными в пространстве непрерывным образом с конечной всюду плотностью. Объёмная плотность заряда ρ определяется как отношение
(3.1.34)
где dV – физически бесконечно малый объём, т.е. такой объём, который достаточно велик, чтобы не могла проявиться дискретность заряда, и вместе с тем достаточно мал для того, чтобы плотность зарядов в его пределах можно было считать одинаковой.
В соответствии с (3.1.34) в объёме dV заключён заряд 
. Если 
, этот заряд положителен и в пределах dV будут начинаться 
линии поля. Разделив 
на dV, получим плотность точек, в которых начинаются линии поля, т.е. дивергенцию вектора 
. Если 
, заряд отрицательный и в объёме dV будут оканчиваться 
линий. Следовательно, и в этом случае 
. Таким образом, независимо от знака ρ получим:
(3.1.35)
Эта формула выражает теорему Гаусса в дифференциальной форме.
В случае симметричного распределения зарядов и соответственно симметричных полей теорема Гаусса позволяет найти напряжённость поля сравнительно простым способом.
к к к