ФИЗИКА

3.1.6. Поток и дивергенция векторного поля

Нагляднее всего эти понятия оказываются в случае поля вектора скорости частиц текущей жидкости. Течение жидкости можно представить с помощью линий тока (рис. 3.1.8). Эти линии удовлетворяют двум условиям:

1) скорость частицы жидкости, проходящей через данную точку пространства, направлена по касательной к линии в данной точке;  

2) густота линий численно равна модулю скорости частиц в данном месте потока.

Рассмотрим стационарное (т.е. не изменяющееся со временем) течение несжимаемой жидкости. Поместим в поток воображаемую поверхность S (ограничивающий её контур изображён на рис. 3.1.8 штриховой линией). Потоком жидкости через поверхность S называется объём жидкости, проходящей через S в единицу времени.

Проще всего вычислить поток в случае, когда жидкость течёт по цилиндрической трубе, причём скорость частиц жидкости во всех точках поперечного сечения трубы одинакова, т.е. поле вектора однородно (рис. 3.1.9). Очевидно, что в единицу времени через перпендикулярную к оси трубы поверхность пройдёт жидкость, заключённая в заштрихованном на рисунке цилиндре с основанием и высотой . Следовательно, обозначив поток жидкости можно написать

Аналогично через плоскую поверхность S, образующую с поверхностью угол α, пройдёт в единицу времени жидкость, заключённая в косом цилиндре с основанием S и высотой . Объём этого цилиндра равен , где α– угол между вектором v и нормалью к поверхности . Таким образом, поток через S равен:

(3.1.19)

где – проекция v на нормаль .

Нормаль можно направить как в одну, так и в другую сторону от плоскости, причём оба направления совершенно равноправны. В случае, изображённом на рис. 3.1.9, нормаль образует с острый угол, вследствие чего , а следовательно, и оказываются положительными. Однако, если бы мы направили нормаль в противоположную сторону, , а следовательно, и были бы отрицательными. Таким образом, поток (3.1.19) является величиной алгебраической; его знак зависит от выбора направления нормали к поверхности, через которую вычисляется поток.

Чтобы вычислить поток в случае, изображённом на рис. 3.1.8, нужно разбить поверхность на элементарные участки dS. Поток через такой участок можно вычислить по формуле 3.1.19:

(3.1.20)

где v – модуль скорости в том месте, где расположена площадка dS (рис. 3.1.10)

Введём вектор , модуль которого равен dS, а направление совпадает с направлением нормали к площадке . Поскольку направление нормали выбирается условно, является псевдовектором. Угол α между векторами и (рис. 3.1.10) является также углом между векторами и . Поэтому формулу (3.1.20) можно написать в виде скалярного произведения векторов и :

(3.1.21)

Просуммировав выражение (3.1.21) по всей поверхности S, получим поток жидкости через эту поверхность:

(3.1.22)

Выражение (3.1.22) получено для поля вектора скорости частиц жидкости. Аналогичное выражение, написанное для вектора напряжённости электрического поля называется потоком вектора через поверхность S:

(3.1.23)

где – поток вектора .

В электростатике обычно считаются потоки входящие или выходящие из данной поверхности.

В этом случае условились считать за положительное направление нормали направление наружу. Поэтому пересечения при выходе линий напряжённости наружу будут положительными, а пересечения при входе линий внутрь – отрицательными (рис. 3.1.11). В соответствии с этим, поток, выходящий из ограниченного поверхностью объёма наружу, оказывается положительным, а поток, входящий внутрь – отрицательным.

На рис. 3.1.11 видно, что в случае, когда линии поля проходят внутри замкнутой поверхности не прерываясь, каждая линия пересекая поверхность, входит внутрь и выходит наружу одинаковое число раз. В итоге полное число положительных пересечений будет равно полному числу отрицательных пересечений и поток вектора через поверхность оказывается равным нулю.

Из рис. 3.1.12 следует, что линия, начинающаяся внутри замкнутой поверхности, вносит в поток вклад, равный +1, а линия, оканчивающаяся внутри поверхности – вклад, равный -1. Отсюда заключаем, что поток вектора через замкнутую поверхность численно равен разности линий, начинающихся внутри поверхности , и числа линий, оканчивающихся внутри поверхности :

(3.1.24)

Размерности слева и справа не совпадают. Поэтому знак равенства взят в скобки. Отметим, что линии, начинающиеся и оканчивающиеся внутри замкнутой поверхности, вклада в поток не вносят.

Рассмотрим точку Р, в окрестности которой начинаются (рис. 3.1.13а) либо оканчиваются (рис. 3.1.13б) линии поля. Назовём дивергенцией (от лат. divergentia – расхождение) векторного поля в точке Р величину, численно равную плотности точек (т.е. количеству точек, приходящихся на единицу объёма), в которых начинаются либо оканчиваются линии поля.

В первом случае будем считать дивергенцию положительной, во втором – отрицательной (схождение линий равнозначно отрицательному расхождению).

Выделим в окрестности точки Р объём V очень малых линейных размеров. Если внутрь этого объёма попадёт точек, в которых начинаются линии поля, либо - точек, в которых оканчиваются линии поля, то дивергенция будет равна:

(3.1.25)

;

Согласно формуле (3.1.24) в первом случае и - во втором случае численно равны потоку вектора через ограничивающую объём V поверхность S. Поэтому оба соотношения (3.1.25) можно представить одной формулой

(3.1.26)

(в этой формуле левая и правая части имею одинаковую размерность, поэтому знак равенства не взят в скобки).

Если точки, в которых начинаются или оканчиваются линии поля, распределены в пространстве неравномерно, то для получения значения дивергенции в точке Р нужно взять предел выражения (3.1.26) при условии, что V стремится к нулю, стягиваясь к точке Р. Заметив в дополнение к этому согласно (3.1.23), придём к строгому математическому определению дивергенции:

(3.1.27)

(S – поверхность, ограничивающая объём V).

Дивергенция – скалярная величина, которая может быть как положительной, так и отрицательной. Существует два способа обозначения дивергенции: и , где (набла) – векторный дифференциальный оператор:

Точки, в которых начинаются линии поля, естественно назвать источниками поля. Тогда дивергенцию можно трактовать как мощность источников поля, отнесённую к единице объёма. Точки, в которых оканчиваются линии поля, называются стоками.

Согласно формуле (3.1.25) выражение даёт , т.е. число линий поля, начинающихся в объёме , либо - , т.е. взятое со знаком минус число линий поля, оканчивающихся в объёме .

Следовательно,

,

где все три интеграла берутся по одному и тому же конечному объёму V.

Из (3.1.25) следует, что правая часть полученного нами соотношения представляет собой поток вектора через замкнутую поверхность S, ограничивающую объём V. Таким образом,

(3.1.28)

Это соотношение называют теоремой Остроградского-Гаусса.

к к к