ФИЗИКА

7.23. Электропроводность металлов

Квантово-механический расчёт показывает, что в случае идеальной кристаллической решётки электроны проводимости не испытывали бы при своём движении никакого сопротивления и электропроводность металлов была бы бесконечно большой. Однако кристаллическая решётка никогда не бывает совершенной. Нарушения строгой периодичности решётки бывают обусловлены наличием примесей или вакансий, а также тепловыми колебаниями решётки. Рассеяние электронов на атомах примесей и на фононах приводит к возникновению электросопротивления металлов. Чем чище металл и ниже температура, тем меньше это сопротивление.

Удельное электрическое сопротивление металлов ρ можно представить в виде

,

где ρкол.- сопротивление, обусловленное тепловыми колебаниями решётки;

ρприм.- сопротивление, обусловленное рассеянием электронов на примесных атомах.

Слагаемая ρприм. при небольшой концентрации примесей не зависит от температуры и образует остаточное сопротивление металла, т.е. сопротивление, которым металл обладает при 0 K.

Пусть в единице объёма металла имеется n свободных электронов. Назовём среднюю скорость этих электронов дрейфовой скоростью . По определению

(7.23.93)

В отсутствие внешнего поля дрейфовая скорость равна нулю, и электрический ток в металле отсутствует. При наложении на металл внешнего поля дрейфовая скорость становится отличной от нуля – в металле возникает электрический ток. Согласно закону Ома, дрейфовая скорость является конечной и пропорциональна силе .

Согласно механике, это возможно только в том случае, если кроме внешней силы , на тело действует сила сопротивления среды, пропорциональная скорости.

Отсюда следует, что, кроме силы на электроны проводимости в металле действует сила «трения», среднее значение которой равно

(7.23.94)

(r – коэффициент пропорциональности).

В этом случае уравнение движения для «среднего» электрона имеет вид

(7.23.95)

где m* - эффективная масса электрона.

Уравнение (7.23.95) позволяет найти установившееся значение .

Для этого найдём закон убывания дрейфовой скорости после выключения внешнего поля. Положив в (7.23.95) , получим

(7.23.96)

Решение (7.23.96) имеет вид

(7.23.97)

где - значение дрейфовой скорости в момент выключения поля.

Из (7.23.97) следует, что за время

(7.23.98)

значение дрейфовой скорости уменьшается в е раз. Таким образом, величина (7.23.98) представляет собой время релаксации. С учётом (7.23.98) получим

(7.23.99)

Установившееся значение дрейфовой скорости найдём, приравняв нулю сумму силы и силы трения (7.23.99):

,

отсюда

(7.23.100)

Отношение скорости дрейфа к напряжённости называют подвижностью носителей:

(7.23.101)

Для электронов Un < 0, для дырок Up < 0.

Установившееся значение плотности тока получим, умножив значение (7.23.100) на заряд электрона – е и плотность электронов n:

(7.23.102)

Мы получили закон Ома с учётом квантово-механической трактовки движения электронов проводимости в металле.

Коэффициент пропорциональности в (7.23.102) представляет собой удельную электропроводность σ:

(7.23.103)

Классическая теория даёт для электропроводности металлов следующее соотношение:

(7.23.104)

Нетрудно видеть, что внешне (7.23.103) и (7.23.104) похожи, однако содержание этих формул различно.

В формуле (7.23.104) представляет собой среднюю скорость теплового движения, которая пропорциональна √T. В формуле (7.23.103)

(7.23.105)

где λF - длина свободного пробега электронов, обладающих энергией Ферми;

νF - их скорость;

νF - число столкновений, в результате которых рассасывается скорость в заданном направлении.

Это означает, что в вырожденном газе в формировании электропроводности могут участвовать не все свободные электроны, а лишь те из них, которые располагаются непосредственно около уровня Ферми.

Действительно, при отсутствии внешнего поля состояние электронного газа в проводнике описывается симметричной относительно оси ординат функцией Ферми-Дирака (рис. 7.23.33). Из рис. 7.23.33 видно, что все квантовые состояния, расположенные левее νF, заняты электронами. Поэтому при включении поля оно может воздействовать лишь на электроны, расположенные около уровня Ферми, переводя их на более высокие свободные уровни путём переброски из левой области распределения в правую, как показано стрелкой 11'.

Самое существенное различие между (7.23.103) и (7.23.104) в том, какой смысл вкладывается в длину свободного пробега λ классической и квантовой теориями металлов.

Классическая теория, рассматривающая свободные электроны как молекулы электронного газа, причину сопротивления металлов видит в непрерывном столкновении электронов с узлами решётки. Полагая, что электроны сталкиваются почти со всеми узлами решётки, встречающимися на их пути, классическая теория принимает , где а – параметр решётки.

Квантовая теория рассматривает электрон как частицу, обладающую волновыми свойствами, а движение электронов проводимости через металл как процесс распространения электронных волн, рассеивающихся на фононах, атомах примеси и других дефектах решётки. Поэтому λ ≠ а, а много больше.

Рассмотрим зависимость σ = f(T). Из (7.23.101) и (7.23.102) следует

(7.23.106)

Так как металлы являются вырожденными проводниками, то концентрация электронного газа в них от температуры практически не зависит. Поэтому σ = f(T) полностью определяется температурной зависимостью подвижности электронов.

1) С ростом Т растёт число фононов и их энергия. Теперь уже при одном столкновении (νF = 1) электрон теряет скорость направленного движения. При (- температура Дебая) число фононов линейно растёт с температурой, значит, линейно растёт число столкновений с фононами, и, следовательно, . При этом e ≠ f(T), m* ≠ f(T), σD ≠ f(T). Тогда σ ~ T-1, т.е. ρ ~ T, что совпадает с опытом.

2) При , так как при низкой температуре фононный газ очень разряжен и электроны проходят весь путь без столкновений. Наличие сопротивления в этом случае объясняется рассеянием электронов на примесях и других дефектах.

Зависимость σ = f(T) приведена на рис. 7.23.34.

к к к