ФИЗИКА

7.16. Число состояний для микрочастиц. Понятие о фазовом пространстве микрочастицы и его квантовании

В классической механике состояние частицы определяется заданием трёх координат (x, y, z) и трёх составляющих импульса (px, py, pz).

Представим себе шестимерное пространство с осями координат x, y, z, px, py, pz. Состояние частицы в этом пространстве в каждый момент времени будет определяться точкой (x, y, z, px, py, pz). Такое пространство называют фазовым, а точки (x, y, z, px, py, pz), определяющие состояние частицы, называют фазовыми точками. Величина

(7.16.70)

называется элементом объёма фазового пространства.

Здесь ΔГV = dxdydz представляет собой элемент объёма пространства координат, ΔГp = dpxdpydpz - элемент объёма пространства импульсов.

Так как у классической частицы координаты и составляющие импульса могут меняться непрерывно, то элементы ΔГV и ΔГp, а вместе с ними элемент ΔГ могут быть сколь угодно малыми.

Для системы невзаимодействующих частиц, не подверженной влиянию внешнего поля, потенциальная энергия частиц равна нулю. Такие частицы называются свободными. Для них удобно пользоваться не шестимерным фазовым пространством, а трёхмерным пространством импульсов. В этом случае элемент ΔГV равен просто объёму V, в котором движутся частицы, поскольку никаких других ограничений на их положение не налагается.

Иначе обстоит дело с делением фазового пространства на элементы объёма в том случае, когда частицей является электрон или любой другой микрообъект, обладающий волновыми свойствами. Наличие у таких микрочастиц волновых свойств исключает, согласно принципу неопределённостей, возможность различать два состояния: (x, y, z, px, py, pz) и x+dx, y+dy, z+dz, px+dpx, py+dpy, pz+dpz, если произведение dxdydzdpxdpydpz окажется меньше h3. Так как это произведение выражает элемент объёма шестимерного фазового пространства, то отсюда следует, что различным элементам объёма шестимерного фазового пространства будут отвечать различные квантовые состояния микрочастицы лишь в том случае, если размер этих элементов объёма не меньше h3. Поэтому в квантовой статистике за элементарную ячейку шестимерного фазового пространства принимается объём, равный

(7.16.71)

Для свободных микрочастиц элемент трёхмерного пространства импульсов

(7.16.72)

Каждому такому элементу соответствует квантовое состояние, отличимое от других состояний.

Плотность состояний. Подсчитаем число состояний, которым обладает микрочастица в интервале энергий от Е до Е+ dE. Для этого в пространстве импульсов проведём сферы с радиусами p и p+ dp (рис. 7.16.25).

Между этими сферами находится шаровой слой, имеющий объём, равный 4πp2dp. Число элементарных фазовых ячеек, заключённых в этом слое, равно

.

Так как каждой ячейке отвечает одно квантовое состояние микрочастицы, то число состояний, приходящихся на интервал dp, заключённый между р и р + dp, равно

(7.16.73)

Для свободных, не взаимодействующих друг с другом частиц

Находя отсюда р и dp и подставляя в (7.16.73), получим

(7.16.74)

Поделив левую и правую части соотношения (7.16.74) на dE, получим плотность состояний g(E), выражающую число состояний микрочастицы, приходящееся на единичный интервал энергий:

(7.16.75)

Из (7.16.75) видно, что с ростом Е плотность состояний увеличивается пропорционально √E (рис. 7.16.26). Кроме того, плотность состояний зависит от массы частицы, увеличиваясь с ростом m.

В случае электронов каждой фазовой ячейке отвечает не одно, а два состояния, отличающееся друг от друга направлением спина, поэтому для электронов плотность состояний следует удвоить:

(7.16.76)

Интегрируя (7.16.76) по энергиям в пределе от 0 до Е, получим число состояний микрочастицы, заключённое в интервале от 0 до Е:

.

Полагая , найдём

.

Подставив этот результат в (7.16.66), получим выражение для критерия невырожденности

(7.16.77)

Рассмотрим электронный газ в металлах. Для него n ≈ 5 ⋅ 1028 м3, m = 9,1 ⋅ 10-31 кГ. Подставив эти значения в (7.16.77), будем иметь: левая часть (7.16.77) равна ~ 0,5 при T = 105K, что много выше температуры плавления. Поэтому в реальных условиях электронный газ в металлах всегда вырожден, вследствие чего он должен описываться квантовой статистикой Ферми-Дирака.

к к к