ФИЗИКА

7.8. Зонная теория твердого тела

Современная теория твёрдого тела представляет собой единую теорию твёрдого состояния, объясняющую на основе квантовой механики всю совокупность свойств и причины различия твёрдых тел. Твёрдое тело рассматривается как многоядерная и многоэлектронная система, в которой действуют электростатические (кулоновские) силы. Магнитное взаимодействие между атомными частицами гораздо слабее, чем электростатическое, и вносит лишь сравнительно малые поправки.

Из основного уравнения динамики в нерелятивистской квантовой механике – уравнения Шредингера можно получить в принципе все необходимые сведения о кристалле, в том числе возможные значения его энергии, а также соответствующие этим энергетическим состояниям конфигурации ядер и пространственное распределение электронов. Сведения о расположении ядер и электронов в кристалле даёт волновая функция . Если проинтегрировать ⎥ψ⎥2 по всем электронным координатам , то получится распределение вероятностей всех возможных при данной энергии пространственных расположений ядер: . Тем самым могут быть в принципе теоретически определены все возможные для данного вещества структуры кристаллической решётки. Они соответствуют тем конфигурациям ядер, при которых эта вероятность имеет максимумы.

Подставляя в волновую функцию значения координат ядер , соответствующие данной пространственной решётке кристалла, найдём, образуя ⎥ψ⎥2, распределение электронного заряда в решётке при этой конфигурации ядер.

Очерченный путь решения задачи, теоретически строгий и отчётливый, оказывается неосуществимым из-за возникающих математических трудностей. Ни в классической, ни в квантовой механике не существует методов точного решения динамической задачи для системы многих частиц. Приближённое же решение удаётся получить с помощью сведения задачи многих частиц к одноэлектронной задаче – к задаче об электроне, движущемся в заданном внешнем поле. Этот путь приводит к зонной теории твёрдых тел.

Первым шагом на этом пути является так называемое адиабатическое приближение, суть которого состоит в разделении системы на тяжёлые и лёгкие частицы – ядра и электроны. Вследствие резкого различия в их массах и скоростях можно считать, что движение электронов происходит в поле неподвижных ядер, тогда как на сравнительно медленное движение ядер влияет лишь среднее пространственное распределение заряда электронов. Предполагая, что ядра жёстко закреплены в узлах кристаллической решётки, рассматривают движение электронов в постоянном периодическом электрическом поле ядер. Тепловое движение атомов решётки и связанные с ним малые колебания ядер можно считать малым возмущением, не влияющим на энергетические состояния электронов; роль его сводится к тому, что оно обусловливает обмен энергией между электронами и решёткой и тем способствует установлению термодинамически равновесного распределения электронов по состояниям.

Далее вводится самосогласованное поле. Суть этого этапа в том, что взаимодействие данного электрона со всеми другими электронами и ядрами заменяется действием на него стационарного электрического поля, обладающего пространственной периодичностью кристаллической решётки. Это поле создаётся усреднённым в пространстве зарядом всех других электронов и всех ядер. В конечном счёте, многоэлектронная задача сводится к задаче о движении одного электрона в периодическом поле – усреднённом и согласованном поле всех ядер и всех электронов.

Чтобы сделать обсуждение решения этой задачи более понятным, рассмотрим сначала качественные состояния электронов в свободном атоме и их изменения при конденсации свободных атомов в твёрдую фазу.

к к к