ФИЗИКА

5.2.4. Интерференция света при отражении от тонких пластинок

При падении световой волны на пластинку (или плёнку) происходит отражение от обеих поверхностей пластинки. В результате возникают две световые волны, которые при известных условиях могут интерферировать.

Пусть на прозрачную плоскопараллельную пластинку падает плоская световая волна, которую можно рассматривать как параллельный пучок лучей (рис. 5.2.5).

Пластинка отбрасывает вверх два параллельных пучка света, из которых один образовался за счёт отражения от верхней поверхности пластинки, второй – вследствие отражения от нижней поверхности. При входе в пластинку и при выходе из неё второй пучок претерпевает преломление. Кроме этих двух пучков пластинка отбросит вверх пучки, возникающие в результате трёх-, пяти- и т.д. кратного отражения от поверхностей пластинки. Однако ввиду их малой интенсивности эти пучки принимать во внимание не будем. Не будем также интересоваться пучками, прошедшим сквозь пластинку.

Разность хода, приобретаемая лучами 1 и 2 до того, как они сойдутся в точке С, равна

(5.2.28)

где S1 – отрезка ВС;

S2 – суммарная длина отрезков АО и ОС;

n – показатель преломления пластинки.

Показатель преломления среды, окружающей пластинку, полагаем равным единице. Из рис. 5.2.5 видно, что (b – толщина пластинки). Подстановка этих значений в (5.2.28) даёт

Произведя замену и учтя, что

(5.2.29)

,

получим: .

При вычислении разности фаз δ между колебаниями в лучах 1 и 2 нужно, кроме оптической разности хода, учесть возможность изменения фазы волны при отражении. В точке С отражение происходит от границы раздела среды оптически менее плотной со средой оптически более плотной. Поэтому фаза волны претерпевает изменение на π. В точке О отражение происходит от границы раздела среды оптически более плотной со средой оптически менее плотной, так что скачка фазы не происходит. В итоге между лучами 1 и 2 возникает дополнительная разность фаз, равная π. Её можно учесть, добавив к Δ (или вычтя из неё) половину длины волны в вакууме. В результате получим:

(5.2.30)

Итак, при падении на пластинку плоской волны образуются две отражённые волны. Выясним условия, при которых эти волны окажутся когерентными и смогут интерферировать. Рассмотрим два случая.

Плоскопараллельная пластинка. Обе плоские отражённые волны распространяются в одном направлении, образующем с нормалью к пластинке угол падения ϑ1. Эти волны смогут интерферировать, если будут соблюдены условия как временной, так и пространственной когерентности.

Для того чтобы имела место временная когерентность, разность хода (5.2.30) не должна превышать длину когерентности, равную λ2/Δλ ≈ λ02/Δλ0. Следовательно, должно соблюдаться условие

или

.

В этом соотношении половиной можно пренебречь по сравнению с λ0/Δλ0. Выражение . С учётом этого получим:

(5.2.31)

т.е. удвоенная толщина пластинки должна быть меньше длины когерентности.

Оценим её величину. Положив и , получим:

.

Теперь рассмотрим условия соблюдения пространственной когерентности. Поставим на пути отражённых пучков экран Э (рис. 5.2.6). Приходящие в точку Р' лучи 1' и 2' отстоят в падающем пучке на расстоянии ρ'. Если это расстояние не превышает радиуса когерентности ρког падающей волны, лучи 1' и 2' будут когерентными и создадут в точке Р' освещённость, определяемую значением разности хода Δ, отвечающим углу падения . Другие пары лучей, идущие под тем же углом , создадут в остальных точках экрана такую же освещённость. Таким образом, экран окажется равномерно освещённым (в частном случае, когда Δ = (m + 1/2)λ0, экран будет тёмным).

При изменении наклона пучка (т.е. при изменении угла ) освещённость экрана будет меняться.

Радиус когерентности солнечного света имеет значение порядка 0,05 мм. При угле падения 45° можно положить ρ ≈ b. Расчёт показывает, что для возникновения интерференции в этих условиях должно выполнятся соотношение

Таким образом, ограничения, накладываемые временной и пространственной когерентностями, приводят к тому, что интерференция при освещении пластинки солнечным светом наблюдается только в том случае, если толщина пластинки не превышает нескольких сотых миллиметра.

Практически интерференцию от плоскопараллельной пластинки наблюдают, поставив на пути отражённых пучков линзу, которая собирает лучи в одной точке экрана, расположенного в фокальной плоскости линзы (рис. 5.2.7). Освещённость в этой точке зависит от значения величины (5.2.30). При Δ = mλ0 получаются максимумы, при Δ = (m + 1/2)λ0 – минимумы интенсивности. Условие максимума интенсивности имеет вид

(5.2.32)

Пусть тонкая плоскопараллельная пластинка освещается рассеянным монохроматическим светом (рис. 5.2.7). Расположим параллельно пластинке линзу, в фокальной плоскости которой поместим экран. В рассеянном свете имеются лучи самых разнообразных направлений. Лучи, параллельные плоскости рисунка и падающие на пластинку под углом , после отражения от обеих поверхностей пластинки соберутся линзой в точке P' и создадут в этой точке освещённость, определяемую значением оптической разности хода. Лучи, идущие в других плоскостях, но падающие на пластинку под тем же углом , соберутся линзой в других точках, отстоящих от центра экрана О на такое же расстояние, как и точка P'. Освещённость во всех этих точках будет одинакова. Таким образом, лучи, падающие на пластинку под одинаковым углом создадут на экране совокупность одинаково освещённых точек, расположенных по окружности с центром в О. Аналогично лучи, падающие под углом , создадут совокупность одинаково (но иначе, поскольку Δ иная) освещённых точек, расположенных по окружности другого радиуса. В результате на экране возникает система чередующихся светлых и тёмных круговых полос с общим центром в точке О. Каждая полоса образована лучами, падающими на пластинку под одинаковым углом . Поэтому получающиеся в описанных условиях интерференционные полосы носят название полос равного наклона.

Поэтому в белом свете получается совокупность смещённых друг относительно друга полос, образованных лучами разных цветов, и интерференционная картина приобретает радужную окраску.

Пластинка переменной толщины. Рассмотрим пластинку в виде клина с углом при вершине φ (рис. 5.2.8). Пусть на неё падает параллельный пучок лучей. Теперь лучи, отразившиеся от разных поверхностей пластинки, не будут параллельными. Они будут пересекаться в точках Q, Q' и т.д. Можно показать, что эти и другие аналогичные им точки лежат в одной плоскости, проходящей через вершину клина О. При малом угле клина φ разность хода лучей можно с достаточной точностью вычислять по формуле (5.2.30), беря в качестве b толщину пластинки в месте падения на неё лучей.

Поскольку разность хода для лучей, отразившихся от различных участков клина, теперь неодинакова, освещённость экрана будет неравномерной – на экране появятся светлые и тёмные полосы. Каждая из таких полос возникает в результате отражения от участков клина с одинаковой толщиной, вследствие чего их называют полосами равной толщины.

Интерференционная картина, получающаяся при отражении плоской волны, локализована вблизи поверхности клина (штриховая линия Q, Q' на рис. 5.2.8). По мере приближения к вершине клина условия интерференции становятся более благоприятными. Поэтому отчётливость интерференционной картины уменьшается при перемещении от вершины клина к его основанию.

Полосы практически равной толщины наблюдают, поместив вблизи клина линзу и за ней экран (рис. 5.2.8). Роль линзы может играть хрусталик, а роль экрана – сетчатка глаза.

При наблюдении в белом свете полосы будут окрашенными, так что поверхность пластинки или плёнки представляется имеющей радужную окраску. Такую окраску имеют, например, расплывшиеся на поверхности воды тонкие плёнки нефти или масла, а также мыльные плёнки. Цвета побежалости, возникающие на поверхности стальных изделий при их закалке, также обусловлены интерференцией от плёнки прозрачных окислов.

Классическим примером полос равной толщины являются кольца Ньютона. Они наблюдаются при отражении света от соприкасающихся толстой плоскопараллельной пластинки и плосковыпуклой линзы с большим радиусом кривизны (рис. 5.2.9).

Роль тонкой плёнки, от поверхности которой отражаются когерентные волны, играет воздушный зазор между пластинкой и линзой (вследствие большой толщины пластинки и линзы за счёт отражений от других поверхностей интерференционные полосы не возникают). При нормальном падении света полосы равной толщины имеют вид концентрических окружностей, при наклонном падении – эллипсов. Найдём радиусы колец Ньютона, получающихся при падении света по нормали к пластинке. В этом случае оптическая разность хода равна удвоенной толщине зазора (предполагается, что в зазоре n = 1). Из рис. 5.2.9 следует, что

(5.2.33)

где R – радиус кривизны линзы;

r – радиус окружности, всем точкам которой соответствует одинаковый зазор b.

Ввиду малости b мы пренебрегли b2 по сравнению с 2Rb. В соответствии с (5.2.33) 2b = r2/R. Чтобы учесть возникающее при отражении от пластинки изменение фазы на π, нужно к полученному результату прибавить λ0/2. В результате получится:

(5.2.34)

В точках, для которых Δ = m'λ0 = 2m'(λ0/2), возникнут максимумы, в точках, для которых Δ = (m' + 1/2)λ = (2m' + 1)λ0/2 – минимумы интенсивности. Оба условия можно объединить в одно:

,

причём чётным значениям т будут соответствовать максимумы, а нечётным – минимумы интенсивности.

Подставив сюда (5.2.34) для Δ и разрешив получившееся уравнение относительно r, найдём радиусы светлых и тёмных колец Ньютона:

(5.2.35)

Чётным т соответствуют радиусы светлых колец, нечётным т – радиусы тёмных колец. Значению m = 1 соответствует r = 0, т.е. точка в месте касания пластинки и линзы. В этой точке наблюдается минимум интенсивности, обусловленный изменением фазы на π при отражении световой волны от пластинки.

Применение интерференции. Изучая форму и положение интерференционных полос, можно судить о свойствах исследуемой пластинки. Ценность интерференционного метода заключается в том, что он чувствителен к малому изменению параметров, поскольку длина световых волн, для которых наблюдается интерференция, имеет порядок 10-7 м.

В связи с этим интерференционный метод применяется для исследования качества полировки поверхностей, для определения малых углов между поверхностями прозрачных тел, для определения малых удлинений тел при их нагревании и т.д.

Остановимся более подробно на таких применениях интерференции, как просветление оптики и получение высокоотражающих интерференционных слоёв.

Просветление оптики. В основе просветления оптики лежит интерференция при отражении от тонких плёнок. Прохождение света через каждую преломляющую поверхность линзы сопровождается отражением примерно 4% падающего света. В сложных объективах такие отражения совершаются многократно, и суммарная потеря светового потока достигает заметной величины. Кроме того, отражения от поверхностей линз приводят к возникновению бликов. В просветлённой оптике для устранения отражения света на каждую свободную поверхность линзы наносится тонкая плёнка вещества с иным, чем у линзы, показателем преломления (5.2.10).

Толщина плёнки nd = λ/4 подбирается так, чтобы волны, отражённые от обеих её поверхностей, погашали друг друга. Особенно хороший результат достигается в том случае, если показатель преломления плёнки равен корню квадратному из показателя преломления линзы. При этом условии интенсивность обеих отражённых от поверхностей плёнки волн одинакова. Так как добиться одновременного гашения для всех длин невозможно, то это обычно делается для наиболее восприимчивой глазом волны . Поэтому объективы с просветлённой оптикой имеют синевато-красный оттенок.

Высокоотражающие интерференционные покрытия (интерференционные зеркала). Наряду с необходимостью уменьшать коэффициент отражения часто приходиться решать и противоположную задачу – получать высокоотражающие поверхности. И здесь на помощь приходит явление интерференции. Легко убедиться, что если в системе, изображённой на рис. 5.2.10, показатель преломления диэлектрического слоя (плёнки) взять больше показателя преломления стекла (n > n0), то произойдёт увеличение коэффициента отражения R. Вследствие того, что потеря полуволны будет происходить теперь только на внешней поверхности плёнки, оптическая разность хода между отражёнными когерентными волнами 1' и 2' будет равна λ/4 + λ/4 + λ/2 = λ, что соответствует разности фаз, равной 2π. Таким образом, вследствие взаимного усиления отражённых волн коэффициент отражения увеличится.

К сожалению, данным методом практически невозможно получить R > 0,3. Получить R близким к единице можно с помощью многолучевой интерференции, приводящей к сужению интерференционных максимумов и резкому увеличению их интенсивности. Для получения многолучевой интерференции пользуются системой многих слоёв, нанесённых на отражающую поверхность. В результате удаётся получить коэффициент отражения R ≈ 0,99, что особенно важно в лазерной технике. Для получения такого высокого коэффициента отражения на поверхность стекла наносят 11-13 слоёв.

Слои наносят следующим образом. На стекло (рис. 5.2.11) наносят определённое число диэлектрических плёнок с разными показателями преломления, но с одинаковой оптической толщиной, равной λ/4, причём их наносят так, чтобы между двумя слоями с большим показателем преломления n1 (например, сульфид цинка, для которого n1 ≈ 2,3) находилась диэлектрическая плёнка с малым показателем преломления n2 (например, фторид лития с n2 ≈ 1,3). Легко убедится, что в этом случае все отражённые волны будут синфазными и поэтому будут взаимно усиливаться. Характерным свойством такой высокоотражающей системы является тот факт, что она действует в довольно узкой спектральной области, причём, чем больше коэффициент отражения, тем уже соответствующая область. Например, значения коэффициента отражения R ≈ 0,9, полученного с помощью семи слоёв, добиваются в области шириной .

Явление интерференции также применяется в очень точных измерительных приборах, называемых интерферометрами. Все интерферометры основаны на одном и том же принципе и различаются лишь конструктивно. На рис. 5.2.12 представлена упрощённая схема интерферометра Майкельсона.

Монохроматический свет от источника S падает под углом 45° на плоскопараллельную пластинку P1. Сторона пластинки, удалённая от S, посеребрённая и полупрозрачная, разделяет луч на две части: луч 1 отражается от зеркала M1 и, возвращаясь обратно, вновь проходит через пластинку P1 (луч 1'). Луч 2 идёт к зеркалу M2, отражается от него, возвращается обратно и отражается от пластинки P1 (луч 2' ). Так как первый из лучей проходит сквозь пластинку P1 дважды, то для компенсации возникающей разницы хода на пути второго луча ставится пластинка P2 (точно такая же, как и P1, только не покрытая слоем серебра).

Лучи 1' и 2' когерентны; следовательно, будет наблюдаться интерференция, результат которой зависит от оптической разности хода луча 1 от точки О до зеркала M1 и луча 2 от точки О до зеркала M2. При перемещении одного из зеркал на расстояние λ/4 разность хода обоих лучей увеличится на λ/2 и произойдёт смена освещённости зрительного поля. Следовательно, по незначительному смещению интерференционной картины можно судить о малом перемещении одного из зеркал и использовать интерферометр Майкельсона для точного (порядка 10-7м) измерения длин (измерения длин, длины волны света, измерения длины тела при изменении температуры).

Применение интерферометров очень многообразно. Они применяются для изучения качества изготовления оптических деталей, исследования быстропротекающих процессов, происходящих в воздухе, обтекающем летательные аппараты и т.д.

В заключение отметим: мы указали далеко не все области применения интерференции.

к к к