ФИЗИКА

1.5.1. Кинетическая энергия релятивистской частицы

Определим эту величину таким же путём, как и в ньютоновской механике, т.е. как величину, приращение которой равно работе действующей на частицу силы. Сначала найдём приращение кинетической энергии dEK частицы под действием силы на элементарном пути :

.

Согласно (1.23.1)

,

где т – релятивистская масса. Подставив этот результат в предыдущее уравнение, получим

(1.24.1)

,

где учтено, что (α - угол между и ).

Выражение (1.24.1) можно упростить, используя формулу (1.22.2). Возведём (1.22.2) в квадрат и приведём её к виду

.

Найдём дифференциал этого выражения с учётом того, что m0 и c - постоянные величины:

или

(1.24.2)

.

Сравнив (1.24.1) и (1.24.2), получим

(1.24.3)

.

Таким образом, приращение кинетической энергии частицы пропорционально приращению её релятивистской массы. Кинетическая энергия покоящейся частицы равна нулю, а её масса равна массе покоя m0. Поэтому, проинтегрировав (1.24.3), получим

(1.24.4)

или

(1.24.5)

,

где β = V/c. Это и есть выражение для релятивистской кинетической энергии частицы.

Убедимся, что при малых скоростях (β<<1) выражение (1.24.5) переходит в ньютоновское. Для этого воспользуемся формулой бинома Ньютона, согласно которой

.

При β<<1 можно ограничиться первыми двумя членами этого ряда. Тогда

.

Таким образом, при больших скоростях кинетическая энергия частицы определяется релятивистской формулой (1.24.5), отличной от m0ν2/2.

На рис. 1.24.1 показаны для сравнения графики зависимости от β релятивистской EKp и ньютоновской кинетических энергий. Их различие особенно сильно проявляется в области скоростей, сравнимых со скоростью света.

к к к